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title: "전자기 정리 — 자기장·유도·정현파"
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전자기 정리 — 자기장·유도·정현파 
 
 
 
 
 

 전자기 정리

 직선 도선의 자기장 · 자기력 · 전자기 유도 · 정현파 · 응용

 

 1. 직선 도선의 자기장

 무한히 긴 직선 도선에서 수직 거리 \(r\)만큼 떨어진 곳의 자기장 세기:

 $$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

 
 \(\mu_0\) = 진공의 투자율 = \(4\pi\times10^{-7}\) T·m/A

 자기장은 거리 \(r\)에 반비례

 방향은 오른손 법칙: 엄지 = 전류 \(I\), 감는 손가락 = 자기장 \(B\)

 

 2. 자기장이 도선에 주는 힘

 자기장 속 도선이 받는 힘

 자기장 \(B\) 속에서 전류 \(I\)가 흐르는 길이 \(L\)의 도선이 받는 힘:

 $$F = BIL\sin\theta$$

 \(\theta\)는 전류와 자기장이 이루는 각. 수직일 때(\(\theta=90^\circ\)) 최대 \(F=BIL\).

 나란한 두 도선 사이의 힘

 거리 \(d\) 떨어진 두 평행 도선에 전류 \(I_1, I_2\)가 흐를 때, 단위 길이당 힘:

 $$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$$

 전류 방향이 같으면 인력, 반대면 척력. (도선 1의 자기장 속에 도선 2가 놓여 힘을 받는 것으로 유도됨.)

 3. 전자기 유도

 패러데이 법칙

 코일을 지나는 자기 선속이 변하면 기전력이 생긴다:

 $$\varepsilon = -N\frac{d\Phi_B}{dt}, \qquad \Phi_B = BA\cos\theta$$

 
 \(N\) = 코일 감은 수

 (−) 부호 = 렌츠의 법칙: 유도 전류는 선속 변화를 방해하는 방향

 

 운동 기전력

 자기장 \(B\)에 수직으로 길이 \(L\)인 도선이 속도 \(v\)로 움직이면:

 $$\varepsilon = BLv$$

 도선 속 전자가 로렌츠 힘 \(F = qvB\)를 받아 양끝으로 분리되며 전위차가 생긴다. 전기력과 평형일 때 \(E=vB\), 전체 길이에 걸린 전압이 \(\varepsilon = EL = BLv\).

 
로렌츠 힘 관점과 선속 변화 관점은 일치한다:
\(\varepsilon = \dfrac{d\Phi_B}{dt} = B\dfrac{dA}{dt} = B\dfrac{L\,dx}{dt} = BLv.\)

 에너지 관점

 유도 전류가 흐르면 도선은 자기력 \(F=BIL\)을 받아 운동을 방해받는다. 도선을 계속 움직이려면 외력이 일을 해야 하며, 그 역학적 에너지가 전기 에너지로 변환된다:

 $$P_{\text{역학}} = Fv = BILv = \varepsilon I = P_{\text{전기}}$$

 4. 정현파와 교류

 코일이 일정한 각속도로 회전하면 선속이 \(\Phi = BA\cos\omega t\)로 변하고, 그 변화율인 기전력이 사인파(정현파)가 된다:

 $$\varepsilon(t) = \varepsilon_0\sin(\omega t)$$

 
 기호 의미 관계식 

 \(\varepsilon_0\) 진폭(최댓값) \(\varepsilon_0 = BA\omega\) 

 \(\omega\) 각진동수 \(\omega = 2\pi f = 2\pi/T\) 

 \(T\) 주기 \(T = 1/f\) 

 

 실효값 (RMS)

 교류가 실제로 하는 일의 크기는 최댓값이 아니라 실효값으로 나타낸다:

 $$V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt2}, \qquad I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt2}$$

 가정용 "220 V"는 실효값이며, 실제 최댓값은 \(220\sqrt2\approx311\) V.

 

 5. 응용 — 회전 도선과 LED

 문제. 자기장 속에서 ㄷ자 도선을 일정한 각속도로 돌리면 전압이 \(\varepsilon_0\sin\omega t\)로 나온다. 전압이 LED의 문턱전압을 넘을 때만 불이 켜진다. 주기 \(T=24\)초, 파란 LED는 4초 켜진다. 초록 LED는 몇 초 켜질까? (파란 파장 \(320\sqrt2\) nm, 초록 \(320\sqrt3\) nm)

 핵심 원리

 
 LED는 정류 작용 — 사인파의 양(+) 반주기에서만 켜질 수 있다.

 문턱전압 \(V = \dfrac{hc}{e\lambda} \propto \dfrac1\lambda\) — 파장이 길수록 문턱이 낮아 오래 켜진다.

 사인파가 문턱을 넘는 시작 위상을 \(\alpha\)(단, \(\sin\alpha = V/\varepsilon_0\))라 하면, 좌우 대칭이라 켜진 위상폭 = \(\pi - 2\alpha\).

 

 풀이

 각진동수. \(\omega = \dfrac{2\pi}{24} = \dfrac{\pi}{12}\) rad/s.

 파란 LED. 켜진 폭 \(= \omega\times4 = \dfrac{\pi}{3}\). \(\pi - 2\alpha = \dfrac{\pi}{3}\)에서 \(\alpha = 60^\circ\), 따라서

 $$\frac{V_{\text{파랑}}}{\varepsilon_0} = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}$$

 초록 LED 문턱 비율. 파장에 반비례하므로

 $$\frac{V_{\text{초록}}}{V_{\text{파랑}}} = \frac{\lambda_{\text{파랑}}}{\lambda_{\text{초록}}} = \frac{320\sqrt2}{320\sqrt3} = \sqrt{\frac23}$$

 $$\frac{V_{\text{초록}}}{\varepsilon_0} = \sqrt{\frac23}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{1}{\sqrt2}$$

 초록 LED 켜짐 시간. \(\sin\alpha = \dfrac1{\sqrt2}\)이면 \(\alpha = 45^\circ\), 켜진 폭 \(= \pi - 2(45^\circ) = \dfrac{\pi}{2}\).

 $$t_{\text{초록}} = \frac{\pi/2}{\omega} = \frac{\pi/2}{\pi/12} = 6\ \text{초}$$

 
초록빛은 파란빛보다 파장이 길어(\(320\sqrt3 > 320\sqrt2\)) 문턱전압이 낮고, 그만큼 사인파가 문턱을 넘는 시간이 길다. 초록(6초) > 파랑(4초)로 직관과 일치.

 

 핵심 공식 모음

 
 항목 공식 

 직선 도선의 자기장 \(B = \mu_0 I / 2\pi r\) 

 도선이 받는 힘 \(F = BIL\sin\theta\) 

 두 도선 사이 힘 \(F/L = \mu_0 I_1 I_2 / 2\pi d\) 

 패러데이 법칙 \(\varepsilon = -N\,d\Phi_B/dt\) 

 운동 기전력 \(\varepsilon = BLv\) 

 정현파 기전력 \(\varepsilon = \varepsilon_0\sin\omega t,\ \ \omega=2\pi/T\) 

 실효값 \(V_{\text{rms}} = V_0/\sqrt2\)