풀이 과정 중심의 예시답안입니다. 1·2·3·4·6번은 코드로 검산했습니다.
A=(0,0), B=(1,0), C=(1,1), D=(0,1). P=(x,y)에서 PP₁=1−x, PP₂=1−y, AP=√(x²+y²). C₁: √(x²+y²)=1−x ⇒ x=(1−y²)/2, C₂: y=(1−x²)/2. 두 곡선은 y=x 위 (√2−1, √2−1)에서 만남. S = ∫₀^(√2−1) (1−x²)/2 dx + ∫_(√2−1)^(1/2) √(1−2x) dx = (2−√2)/3 + (5√2−7)/3.
답: S = (4√2 − 5)/3 ≈ 0.219
합의 순서를 바꾸면 (각 m에 대해 1≤n≤m), 내부합 Σₙ₌₁^m (m+2n−1) = 2m². 따라서 Σ = Σ_{m=1}^{10} 2/(m(m+1)(m+2)). 2/(m(m+1)(m+2)) = 1/(m(m+1)) − 1/((m+1)(m+2)) (망원급수) = 1/2 − 1/132.
답: 65/132
3-1) 임의 위치에서 가장 가까운 격자점까지 최대거리는 단위정사각형 중심에서 √2/2. 답: R_min = √2/2 3-2) 각 꼭짓점에 반지름 √2/2 사분원. 거리² ≤ 1/2이면 덮음. 이웃 두 원의 렌즈(정사각형 내부 절반) = π/8 − 1/4, 대각선 두 원은 (½,½)에서 접해 넓이 0, 3개 이상 겹침도 넓이 0. 정확히 2개 덮이는 영역 = 4(π/8 − 1/4). 답: π/2 − 1 ≈ 0.571
4초=1걸음, 역 도착시각 360k초 ⇒ 걸음 수 90k. 왕복주기 2(n−1), n번 칸 조건: 90k ≡ n−1 (mod 2(n−1)). 4-1) n=8: 90k ≡ 7 (mod 14) ⇒ 6k ≡ 7 (mod 14). 좌변은 항상 짝수, 우변 7은 홀수 ⇒ 해 없음. 답: 내릴 수 없다. 4-2) n=9: 90k ≡ 8 (mod 16) ⇒ 5k ≡ 4 (mod 8) ⇒ k ≡ 4 (mod 8). 최소 k=4. 답: 내릴 수 있고, 처음 내리는 역은 4번째 역.
5-1) x=0 대입 ⇒ f(0)=0. h(x)=f(x)/x 두면 h(x)=h(x/c)=…=h(x/cⁿ) → f'(0). 따라서 f(x)=f'(0)·x (일차함수)뿐. f(1)=1885. 답: f'(0)=1885, f(x)=1885x (유일) 5-2) 조건은 f(cx)=c²f(x). Iₘ=∫_{c^m}^{c^{m-1}} f, 치환하면 I_{m+1}=c³Iₘ, I₁=1. aₖ = Σ_{m=1}^k c^{3(m−1)} = (1−c^{3k})/(1−c³). 답: lim aₖ = 1/(1−c³)
6-1) 식을 n, n+1에서 빼면 f(n)−f(n+2) = f(n+3)(f(n+2)−f(n+4)). dₙ=f(n+2)−f(n)이라 하면 dₙ = f(n+3)·d_{n+2}, f(n+3)≥1. 어떤 N에서 d_N<0이면 d_{N+2k}는 음의 정수이며 절댓값 비증가 ⇒ 결국 일정 ⇒ 그 류 어떤 항부터 f=1. 그 항에서 n=m−2 대입: 1+f(m−1)=f(m+1)−2025 ⇒ f(m+1)=f(m−1)+2026 ⇒ 반대 류는 +2026씩 증가(d>0)이나 d_N<0이 바로 그 류 ⇒ 모순. 따라서 dₙ≥0, 즉 f(n)≤f(n+2). ∎
6-2) f(n+3)=(f(n)+f(n+1)+2025)/f(n+2)로 결정. f(1)=1. 유효한 무한수열은 '한 홀짝류는 항상 1, 다른 류는 2026씩 증가'하는 두 경우뿐. ① 홀수열 모두 1 (1,1,1,2027,1,4053,…): f(21)=1 ② 짝수열 모두 1, 홀수열 증가 (1,1,2027,1,4053,…): f(21)=1+2026·10=20261 답: f(21) = 1 또는 20261