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title: "도플러 효과 공식 유도"
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도플러 효과 공식 유도 
 
 
 
 
 
 

 
 도플러 효과 공식 유도

 "파면을 센다"는 하나의 원리에서 출발해, 소리와 빛의 도플러 공식을 단계별로 세워 봅니다.

 

 0. 출발점 — 진동수의 정의

 모든 유도의 핵심은 단 하나입니다. 진동수 = 단위 시간당 관측자를 지나가는 파면(마루)의 개수 . 따라서 파면 사이 간격(파장)이 짧아지거나, 파면이 나를 지나가는 속력이 빨라지면 진동수가 커집니다. 소리와 빛의 차이는 이 "간격"과 "속력"을 어떤 기준에서 재느냐에서 갈립니다.

 
 기호 약속. 매질에서의 음속(또는 진공에서의 광속) $v$, 파원 고유 진동수 $f$, 고유 주기 $T=1/f$, 파장 $\lambda=vT$. 파원 속력 $v_s$, 관측자 속력 $v_o$. 편의상 서로 접근하는 경우 를 기준으로 부호를 잡습니다.

 1. 소리 — 움직이는 파원 (관측자 정지) 

 
 CASE A 파장이 압축된다

 파원이 관측자 쪽으로 $v_s$로 다가옵니다. 관측자는 매질에 대해 정지해 있습니다. 핵심은 파원이 한 주기 동안 이동하면서 다음 파면을 더 가까이서 내보낸다 는 것입니다.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 파원 $v_s$ → 
 
 
 관측자(정지) 
 
 $\lambda' = (v - v_s)T$ 
 
 한 주기 $T$ 동안 파면은 $vT$만큼 나아가지만 파원도 $v_sT$만큼 따라와, 앞쪽 파장이 $v_sT$만큼 줄어든다. 
 

 
 한 주기 $T$ 동안 첫 파면은 매질 속을 $vT$만큼 전진합니다.

 그 사이 파원 자신도 같은 방향으로 $v_sT$만큼 이동한 뒤 두 번째 파면을 내보냅니다.

 따라서 앞쪽에서 두 파면 사이 간격(새 파장)은 그만큼 압축됩니다.
 $$ \lambda' = vT - v_sT = (v - v_s)\,T $$

 

 관측자는 매질에 정지해 있으므로 파면이 다가오는 속력은 여전히 $v$입니다. 진동수는 속력 나누기 파장:
 $$ f' = \frac{v}{\lambda'} = \frac{v}{(v-v_s)T} = \frac{v}{v-v_s}\,f $$

 

 
$$ \boxed{\,f' = f\,\dfrac{v}{v - v_s}\,}\qquad(\text{파원이 접근}) $$

 파원이 멀어지면 $v_s \to -v_s$로 바꿔 $f'=f\,\dfrac{v}{v+v_s}$. 파장을 바꾸는 것은 파원 의 운동임에 주목하세요.

 2. 소리 — 움직이는 관측자 (파원 정지) 

 
 CASE B 파장은 그대로, 마주치는 속력이 커진다

 이번엔 파원이 매질에 정지, 관측자가 파원 쪽으로 $v_o$로 다가옵니다. 파원이 정지했으므로 파장은 원래 $\lambda=vT$ 그대로 입니다. 대신 관측자가 파면을 향해 달려가므로 파면이 나를 지나가는 상대속력이 커집니다. 

 
 파원이 정지 → 매질 속 파장은 변하지 않음:
 $$ \lambda = vT = \frac{v}{f} $$

 

 관측자가 파면 쪽으로 $v_o$로 다가가므로, 관측자 기준 파면이 다가오는 속력은 $v+v_o$입니다.

 진동수 = (상대속력) ÷ (파장):
 $$ f' = \frac{v+v_o}{\lambda} = \frac{v+v_o}{v/f} = f\,\frac{v+v_o}{v} $$

 

 
$$ \boxed{\,f' = f\,\dfrac{v+v_o}{v}\,}\qquad(\text{관측자가 접근}) $$

 여기서는 파장 이 아니라 상대속력 이 바뀌었습니다. 같은 도플러 효과지만 물리적 메커니즘이 CASE A와 다릅니다.

 3. 소리 — 일반식과 비대칭성

 둘을 결합하면 파원과 관측자가 모두 움직이는 일반식을 얻습니다.

 
$$ \boxed{\,f' = f\,\dfrac{v \pm v_o}{v \mp v_s}\,} $$

 위 부호: 관측자가 파원에 접근 . 아래 부호: 파원이 관측자에 접근 . (분자는 관측자, 분모는 파원)

 왜 비대칭인가 — 근사로 확인

 파원만 속력 $u$로 접근할 때와, 관측자만 속력 $u$로 접근할 때를 $u/v$에 대해 전개하면:

 
$$ \text{파원 접근: } f' = \frac{f}{1-u/v} = f\left(1 + \tfrac{u}{v} + \tfrac{u^2}{v^2} + \cdots\right) $$
$$ \text{관측자 접근: } f' = f\left(1 + \tfrac{u}{v}\right) $$

 
 1차 항 $u/v$까지는 같지만 2차 항부터 달라집니다. 상대속도가 같아도 결과가 다른 이유는, 소리에는 매질이라는 절대적 기준계 가 존재하기 때문입니다. "누가 매질에 대해 움직이느냐"가 물리적으로 구별됩니다. — 이 지점이 바로 다음 빛의 유도와 갈라지는 곳입니다.

 4. 빛 — 왜 고전 유도가 안 되는가

 빛에는 매질이 없습니다. "매질에 대한 속도" 자체가 존재하지 않으므로 CASE A와 CASE B를 구분할 수 없고, 오직 상대속도 하나만 의미를 가집니다. 게다가 광속 $c$는 모든 관성계에서 같으므로, 파면을 세는 고전적 논리에 특수상대성이론의 시간 팽창 을 반드시 함께 넣어야 합니다.

 
 핵심 재료 시간 팽창

 파원이 자기 시계로 주기 $T_0$마다 파면을 하나씩 내보냅니다. 관측자(정지계)가 보면 움직이는 파원의 시계는 느리게 가므로, 파면을 방출하는 시간 간격이 $\gamma T_0$로 늘어납니다. 

 
 $$ \Delta t_{\text{방출}} = \gamma T_0,\qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad \beta=\frac{v}{c} $$
 

 5. 빛 — 세로(종) 도플러 유도

 
 종방향 파원이 시선 방향으로 멀어지는 경우

 
 관측자 기준, 두 파면의 방출 시간 간격은 시간 팽창으로 $\Delta t = \gamma T_0$.

 그 사이 파원은 시선 방향으로 $v\,\Delta t$만큼 더 멀어졌으므로, 두 번째 파면은 그 거리만큼 더 먼 길 을 광속 $c$로 달려와야 합니다. 그만큼 도착이 지연됩니다.
 $$ \Delta t_{\text{지연}} = \frac{v\,\Delta t}{c} = \beta\,\Delta t $$

 

 따라서 관측자가 재는 파면 도착 간격(관측 주기)은:
 $$ T_{obs} = \Delta t + \beta\,\Delta t = \gamma T_0\,(1+\beta) $$

 

 $\gamma$를 풀어쓰면 $\dfrac{1}{\sqrt{(1-\beta)(1+\beta)}}$이므로:
 
 $$ T_{obs} = T_0\,\frac{1+\beta}{\sqrt{(1-\beta)(1+\beta)}} = T_0\,\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} $$
 

 

 진동수는 주기의 역수:
 $$ f_{obs} = \frac{1}{T_{obs}} = f\,\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} $$

 

 
$$ \boxed{\,f_{obs} = f\,\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}\,}\qquad(\text{멀어짐, 적색편이}) $$

 가까워지는 경우는 $\beta \to -\beta$로 바꿔 $f_{obs}=f\sqrt{\dfrac{1+\beta}{1-\beta}}$ (청색편이). 파원/관측자 어느 쪽이 움직이든 $\beta$가 같으면 결과가 같다 — 완전한 대칭 입니다.

 6. 빛 — 가로(횡) 도플러 유도

 
 횡방향 시선에 수직으로 지날 때 — 빛에만 있는 효과

 파원이 관측자 정면을 지나는 순간, 속도가 시선에 수직 입니다. 이 순간 시선 방향 거리 변화가 0이므로 고전적 지연 항이 사라집니다. 그러나 시간 팽창은 여전히 남습니다.

 
 종방향 유도에서 $\beta$(시선 방향 성분)만 0으로 두면 지연 항이 사라집니다:
 $$ T_{obs} = \gamma T_0 + 0 = \gamma T_0 $$

 

 따라서 순수하게 시간 팽창만 남습니다:
 $$ f_{obs} = \frac{f}{\gamma} = f\sqrt{1-\beta^2} $$

 

 
$$ \boxed{\,f_{obs} = f\sqrt{1-\beta^2} = \dfrac{f}{\gamma}\,}\qquad(\text{횡도플러, 항상 적색편이}) $$

 
 가까워지지도 멀어지지도 않는데 진동수가 줄어듭니다. 고전 도플러로는 절대 나올 수 없는 항으로, 시간 팽창의 직접적 실험 증거 입니다(아이브스–스틸웰 실험, 1938).

 7. 유도 결과 요약

 
 
 상황 유도된 공식 바뀌는 물리량 

 
 
 소리 · 파원 접근 $f' = f\,\dfrac{v}{v-v_s}$ 파장 압축 

 소리 · 관측자 접근 $f' = f\,\dfrac{v+v_o}{v}$ 상대속력 증가 

 소리 · 일반 $f' = f\,\dfrac{v\pm v_o}{v\mp v_s}$ 비대칭 (매질 기준 존재) 

 빛 · 종방향(멀어짐) $f' = f\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}$ 파장 + 시간 팽창 

 빛 · 횡방향 $f' = f\sqrt{1-\beta^2}$ 시간 팽창만 

 
 

 
 하나의 원리, 두 개의 세계. 소리는 "파면을 센다"는 고전적 계산으로 끝나지만, 빛은 같은 계산에 시간 팽창 이라는 상대론적 재료를 더해야 완성됩니다. 소리의 유도에서 매질이 만든 비대칭 이, 빛의 유도에서는 완전한 대칭 으로 바뀌는 것 — 이것이 두 도플러 효과의 본질적 차이입니다.