단진동 공식 유도

복원력 F = −kx 하나에서 출발하면, 미분방정식을 거쳐 변위·속도·가속도가 모두 사인 함수로 유도됩니다. — 물리 I 학습자료

1. 기본 물리량

각진동수 ω = 2π/T = 2πf = √(k/m) 주기 T = 2π/ω = 1/f 진동수 f = 1/T = ω/2π

2. 유도 과정 (5단계)

① 복원력 — 평형점에서 x만큼 벗어나면 반대 방향으로 되돌리는 힘 F = −kx ② 뉴턴 운동 제2법칙 — F = ma 대입 m·d²x/dt² = −kx → d²x/dt² = −(k/m)·x ③ 각진동수 정의 — ω² ≡ k/m 로 두면 x″ = −ω²x 해: x(t) = A·sin(ωt) ④ 미분으로 v, a — v = A·ω·cos(ωt) a = −A·ω²·sin(ωt) = −ω²·x (②의 식과 일치 → 해 확인) ⑤ 주기·진동수 — ω = 2π/T 에서 T = 2π√(m/k), f = 1/T

3. 시간에 따른 운동 (진폭 A)

변위 x(t) = A·sin(ωt) |x|ₘₐₓ = A 속도 v(t) = A·ω·cos(ωt) vₘₐₓ = Aω (중심 x=0에서 최대) 가속도 a(t) = −A·ω²·sin(ωt) aₘₐₓ = Aω² (양끝 x=±A에서 최대) ※ 세 물리량은 같은 진동수로 움직이되 위상이 90°씩 어긋남. 양끝에서 v=0·a 최대, 중심에서 v 최대·a=0.

4. 시스템별 주기

용수철 진자 T = 2π√(m/k) (m: 질량, k: 용수철 상수) 단진자 T = 2π√(L/g) (L: 실 길이, g: 중력가속도) ※ 단진자는 흔들리는 각도가 매우 작을 때만 성립. 복원력 성분 −mg·sinθ ≈ −mg·(x/L) 근사에서 k = mg/L 로 두어 유도.

5. 에너지 보존

전체 역학적 에너지 E = ½mv² + ½kx² = ½kA² = ½m(Aω)² · 양끝 (x=±A): 속도 0 → 전부 퍼텐셜에너지 ½kA² · 중심 (x=0): 변위 0 → 전부 운동에너지 ½m(Aω)²