{"slug":"mE8yt4","url":"https://popup2026.com/mE8yt4","kind":"html","title":"상대론적 일–운동에너지 정리","description":"특수상대성이론 · 일과 에너지 상대론적 일–운동에너지 정리 운동에너지가 왜 상대론적 에너지의 차이 $K=E-E_0$ 로 정의되는가. 결론부터 말하면, 이것은 정의가 아니라 계산의 결과다. 일–운동에너지 정리는 특수상대성이론에서 수정 없이 그대로 성립 한다.…","createdVia":"web-html","createdAt":"2026-07-29T22:13:42.273679+00:00","lastEditedAt":null,"viewCount":1,"forkedFrom":null,"forkCount":0,"agentCreated":false,"text":"상대론적 일–운동에너지 정리 \n\n \n \n \n \n\n \n \n \n\n \n \n \n \n\n \n 특수상대성이론 · 일과 에너지\n\n 상대론적 일–운동에너지 정리\n\n 운동에너지가 왜 상대론적 에너지의 차이 $K=E-E_0$ 로 정의되는가.\n 결론부터 말하면, 이것은 정의가 아니라 계산의 결과다.\n\n \n\n 일–운동에너지 정리는 특수상대성이론에서 수정 없이 그대로 성립 한다.\n\n \n$$W_{\\text{알짜}}=\\Delta K$$\n\n 바뀌는 것은 정리의 형태가 아니라 $K$ 의 함수 표현뿐이다. 고전역학의\n$K=\\tfrac{1}{2}mv^{2}$ 도 외워 쓰는 공식이 아니라 알짜힘이 한 일을 적분한 결과였다.\n상대론에서도 절차는 동일하고, 입력으로 넣는 운동량의 정의 하나만 달라진다.\n\n 01 출발점 — 일의 적분\n\n 상대론적 운동량은 다음과 같다.\n\n \n$$p=\\gamma m_0 v,\n\\qquad\n\\gamma=\\frac{1}{\\sqrt{\\,1-\\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\\,}}$$\n\n 힘의 정의 $F=dp/dt$ 를 써서, 정지 상태의 물체를 속도 $v$ 까지 가속하는 데 든 일을 쓰면\n\n \n$$W=\\int F\\,dx=\\int \\frac{dp}{dt}\\,dx=\\int_{0}^{p} v\\,dp$$\n\n $dx/dt=v$ 를 이용해 적분변수를 $x$ 에서 $p$ 로 바꾼 것뿐이다.\n여기까지는 고전역학과 한 글자도 다르지 않다.\n\n 02 부분적분\n\n \n$$\\int_{0}^{p} v\\,dp\n=\\Bigl[\\,v\\,p\\,\\Bigr]_{0}^{v}-\\int_{0}^{v} p\\,dv\n=\\gamma m_0 v^{2}-\\int_{0}^{v}\\frac{m_0 v}{\\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\\,dv$$\n\n 03 남은 적분\n\n $u=1-v^{2}/c^{2}$ 로 치환하면 $du=-\\,(2v/c^{2})\\,dv$ 이므로\n\n \n$$\\int_{0}^{v}\\frac{m_0 v}{\\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\\,dv\n=-\\frac{m_0c^{2}}{2}\\int_{1}^{u} u^{-1/2}\\,du\n=m_0c^{2}\\left(1-\\frac{1}{\\gamma}\\right)$$\n\n 04 정리\n\n \n$$W=\\gamma m_0 v^{2}-m_0c^{2}+\\frac{m_0c^{2}}{\\gamma}$$\n\n $\\gamma$ 의 정의로부터 $1/\\gamma^{2}=1-v^{2}/c^{2}$ 이므로\n\n \n$$\\gamma v^{2}+\\frac{c^{2}}{\\gamma}\n=\\gamma\\left(v^{2}+\\frac{c^{2}}{\\gamma^{2}}\\right)\n=\\gamma\\bigl(v^{2}+c^{2}-v^{2}\\bigr)\n=\\gamma c^{2}$$\n\n 따라서 일은 다음 형태로 확정된다.\n\n \n$$W=\\gamma m_0c^{2}-m_0c^{2}=E-E_{0}=K$$\n\n 05 순환논법이 아닌 이유\n\n 이 유도에서 $W=\\Delta K$ 를 가정 한 것이 아니다. 논리의 순서는 다음과 같다.\n\n \n $p=\\gamma m_0 v$ 를 (실험적으로 검증된) 전제로 놓는다.\n\n $W\\equiv\\int F\\,dx$, $F\\equiv dp/dt$ 로 일을 계산 한다.\n\n 계산 결과가 $\\gamma m_0c^{2}-m_0c^{2}$ 으로 나온다.\n\n 이 양을 $K$ 라고 부르기로 한다 .\n\n \n\n 즉 정리는 유도의 입력이 아니라 출력이다. 그리고 이 명명이 정당한지는 다음 단계에서 검증된다.\n\n 06 저속 극한에서의 검증\n\n $v\\ll c$ 일 때 이항전개에 의해 $\\gamma\\approx 1+\\tfrac{1}{2}(v^{2}/c^{2})$ 이므로\n\n \n$$K\\approx m_0c^{2}\\cdot\\frac{1}{2}\\frac{v^{2}}{c^{2}}=\\frac{1}{2}m_0v^{2}$$\n\n 고전역학의 결과를 정확히 회복한다. $K=E-E_{0}$ 라는 명명이 옳다는 결정적 근거다.\n\n \n 왜 빼야 하는가. $E=\\gamma m_0c^{2}$ 는 $v=0$ 에서도 $m_0c^{2}$ 가 남는다.\n 이 정지에너지는 운동과 무관한 물질 자체의 에너지이므로, 가속에 투입된 일만 골라내려면\n 반드시 제거해야 한다. 고전역학의 $\\tfrac{1}{2}mv^{2}$ 은 $v=0$ 에서 자동으로 $0$ 이 되어\n 이 문제가 드러나지 않았을 뿐이다.\n\n 07 적용 — 전자를 $0.99c$ 까지 가속하기\n\n $\\gamma=1/\\sqrt{1-0.99^{2}}\\approx 7.09$ 이므로 $\\gamma-1\\approx 6.09$ 이고,\n\n \n$$K=(\\gamma-1)m_0c^{2}\n=6.09\\times\\bigl(9.0\\times10^{-31}\\,\\mathrm{kg}\\bigr)\n\\bigl(3.0\\times10^{8}\\,\\mathrm{m/s}\\bigr)^{2}\n\\approx 4.9\\times10^{-13}\\ \\mathrm{J}$$\n\n 전위차 $V$ 인 전기장이 전자에 해준 일은 $W=eV$ 이고, 일–운동에너지 정리에 의해\n$eV=K$ 이므로\n\n \n$$V=\\frac{K}{e}\n=\\frac{4.9\\times10^{-13}\\,\\mathrm{J}}{1.6\\times10^{-19}\\,\\mathrm{C}}\n\\approx 3.1\\times10^{6}\\ \\mathrm{V}$$\n\n 최종 단위는 J/C 대신 V 로 쓴다. 값은 같지만\n답은 물리량의 고유 단위로 제시하는 것이 표준이다. 또한 $K=mc^{2}-m_0c^{2}$ 처럼 $m$ 을\n상대론적 질량으로 두는 표기보다, $K=(\\gamma-1)m_0c^{2}$ 로 쓰고 질량은 불변량으로\n고정하는 편이 혼동이 적다.\n\n Entropy Lab · 물리 개념 노트","alternates":{"markdown":"https://popup2026.com/mE8yt4.md","json":"https://popup2026.com/mE8yt4.json","html":"https://popup2026.com/mE8yt4"}}