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title: "상대론적 일–운동에너지 정리"
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상대론적 일–운동에너지 정리 

 
 
 
 

 
 
 

 
 
 
 

 
 특수상대성이론 · 일과 에너지

 상대론적 일–운동에너지 정리

 운동에너지가 왜 상대론적 에너지의 차이 $K=E-E_0$ 로 정의되는가.
 결론부터 말하면, 이것은 정의가 아니라 계산의 결과다.

 

 일–운동에너지 정리는 특수상대성이론에서 수정 없이 그대로 성립 한다.

 
$$W_{\text{알짜}}=\Delta K$$

 바뀌는 것은 정리의 형태가 아니라 $K$ 의 함수 표현뿐이다. 고전역학의
$K=\tfrac{1}{2}mv^{2}$ 도 외워 쓰는 공식이 아니라 알짜힘이 한 일을 적분한 결과였다.
상대론에서도 절차는 동일하고, 입력으로 넣는 운동량의 정의 하나만 달라진다.

 01 출발점 — 일의 적분

 상대론적 운동량은 다음과 같다.

 
$$p=\gamma m_0 v,
\qquad
\gamma=\frac{1}{\sqrt{\,1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\,}}$$

 힘의 정의 $F=dp/dt$ 를 써서, 정지 상태의 물체를 속도 $v$ 까지 가속하는 데 든 일을 쓰면

 
$$W=\int F\,dx=\int \frac{dp}{dt}\,dx=\int_{0}^{p} v\,dp$$

 $dx/dt=v$ 를 이용해 적분변수를 $x$ 에서 $p$ 로 바꾼 것뿐이다.
여기까지는 고전역학과 한 글자도 다르지 않다.

 02 부분적분

 
$$\int_{0}^{p} v\,dp
=\Bigl[\,v\,p\,\Bigr]_{0}^{v}-\int_{0}^{v} p\,dv
=\gamma m_0 v^{2}-\int_{0}^{v}\frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\,dv$$

 03 남은 적분

 $u=1-v^{2}/c^{2}$ 로 치환하면 $du=-\,(2v/c^{2})\,dv$ 이므로

 
$$\int_{0}^{v}\frac{m_0 v}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\,dv
=-\frac{m_0c^{2}}{2}\int_{1}^{u} u^{-1/2}\,du
=m_0c^{2}\left(1-\frac{1}{\gamma}\right)$$

 04 정리

 
$$W=\gamma m_0 v^{2}-m_0c^{2}+\frac{m_0c^{2}}{\gamma}$$

 $\gamma$ 의 정의로부터 $1/\gamma^{2}=1-v^{2}/c^{2}$ 이므로

 
$$\gamma v^{2}+\frac{c^{2}}{\gamma}
=\gamma\left(v^{2}+\frac{c^{2}}{\gamma^{2}}\right)
=\gamma\bigl(v^{2}+c^{2}-v^{2}\bigr)
=\gamma c^{2}$$

 따라서 일은 다음 형태로 확정된다.

 
$$W=\gamma m_0c^{2}-m_0c^{2}=E-E_{0}=K$$

 05 순환논법이 아닌 이유

 이 유도에서 $W=\Delta K$ 를 가정 한 것이 아니다. 논리의 순서는 다음과 같다.

 
 $p=\gamma m_0 v$ 를 (실험적으로 검증된) 전제로 놓는다.

 $W\equiv\int F\,dx$, $F\equiv dp/dt$ 로 일을 계산 한다.

 계산 결과가 $\gamma m_0c^{2}-m_0c^{2}$ 으로 나온다.

 이 양을 $K$ 라고 부르기로 한다 .

 

 즉 정리는 유도의 입력이 아니라 출력이다. 그리고 이 명명이 정당한지는 다음 단계에서 검증된다.

 06 저속 극한에서의 검증

 $v\ll c$ 일 때 이항전개에 의해 $\gamma\approx 1+\tfrac{1}{2}(v^{2}/c^{2})$ 이므로

 
$$K\approx m_0c^{2}\cdot\frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{2}m_0v^{2}$$

 고전역학의 결과를 정확히 회복한다. $K=E-E_{0}$ 라는 명명이 옳다는 결정적 근거다.

 
 왜 빼야 하는가. $E=\gamma m_0c^{2}$ 는 $v=0$ 에서도 $m_0c^{2}$ 가 남는다.
 이 정지에너지는 운동과 무관한 물질 자체의 에너지이므로, 가속에 투입된 일만 골라내려면
 반드시 제거해야 한다. 고전역학의 $\tfrac{1}{2}mv^{2}$ 은 $v=0$ 에서 자동으로 $0$ 이 되어
 이 문제가 드러나지 않았을 뿐이다.

 07 적용 — 전자를 $0.99c$ 까지 가속하기

 $\gamma=1/\sqrt{1-0.99^{2}}\approx 7.09$ 이므로 $\gamma-1\approx 6.09$ 이고,

 
$$K=(\gamma-1)m_0c^{2}
=6.09\times\bigl(9.0\times10^{-31}\,\mathrm{kg}\bigr)
\bigl(3.0\times10^{8}\,\mathrm{m/s}\bigr)^{2}
\approx 4.9\times10^{-13}\ \mathrm{J}$$

 전위차 $V$ 인 전기장이 전자에 해준 일은 $W=eV$ 이고, 일–운동에너지 정리에 의해
$eV=K$ 이므로

 
$$V=\frac{K}{e}
=\frac{4.9\times10^{-13}\,\mathrm{J}}{1.6\times10^{-19}\,\mathrm{C}}
\approx 3.1\times10^{6}\ \mathrm{V}$$

 최종 단위는 J/C 대신 V 로 쓴다. 값은 같지만
답은 물리량의 고유 단위로 제시하는 것이 표준이다. 또한 $K=mc^{2}-m_0c^{2}$ 처럼 $m$ 을
상대론적 질량으로 두는 표기보다, $K=(\gamma-1)m_0c^{2}$ 로 쓰고 질량은 불변량으로
고정하는 편이 혼동이 적다.

 Entropy Lab · 물리 개념 노트