{"slug":"tV2C35","url":"https://popup2026.com/tV2C35","kind":"html","title":"단진동 공식 유도","description":"Simple Harmonic Motion · 물리 I 단진동 공식, 복원력에서 사인파까지 되돌리려는 힘 F = −kx 하나에서 출발하면, 미분방정식을 거쳐 변위·속도·가속도 가 모두 사인 함수로 흐르는 것이 자연스럽게 유도됩니다. 아래 진동을 재생해 세 물리량의 위상 관계를 먼저…","createdVia":"web-html","createdAt":"2026-07-07T05:12:01.919174+00:00","lastEditedAt":null,"viewCount":0,"forkedFrom":null,"forkCount":0,"agentCreated":false,"text":"단진동 공식 유도 \n\n \n \n \n \n \n \n \n\n \n \n \n \n\n \n Simple Harmonic Motion · 물리 I\n\n 단진동 공식,\n 복원력에서 사인파까지 \n\n 되돌리려는 힘 F = −kx 하나에서 출발하면, 미분방정식을 거쳐 변위·속도·가속도 가 모두 사인 함수로 흐르는 것이 자연스럽게 유도됩니다. 아래 진동을 재생해 세 물리량의 위상 관계를 먼저 눈으로 확인해 보세요.\n\n \n\n \n \n \n \n 변위 x \n 속도 v \n 가속도 a \n \n\n ▶ 재생 \n \n\n \n \n 물체가 양 끝( x = ±A )에 있을 때 속도는 0·가속도는 최대, 중심( x = 0 )을 지날 때 속도는 최대·가속도는 0. 세 곡선은 서로 90° 씩 어긋납니다.\n \n\n \n\n \n \n Derivation / 유도\n\n 다섯 단계 유도\n\n \"복원력이 변위에 비례한다\"는 조건만으로 단진동의 모든 공식이 결정됩니다.\n\n \n \n 복원력 — 되돌리려는 힘\n\n 평형점에서 x 만큼 벗어나면, 그 반대 방향으로 변위에 비례하는 힘이 작용합니다. 부호 (−) 가 \"되돌림\"을 뜻합니다.\n\n \\[ F = -kx \\]\n\n \n\n \n 뉴턴 운동 제2법칙 대입\n\n F = ma 에 넣으면 가속도가 변위에 비례하고 방향은 반대라는 관계, 즉 단진동의 정의 가 미분방정식으로 나타납니다.\n\n \\[ m\\frac{d^2x}{dt^2} = -kx \\quad\\Longrightarrow\\quad \\frac{d^2x}{dt^2} = -\\frac{k}{m}\\,x \\]\n\n \n\n \n 각진동수 정의와 해\n\n ω² ≡ k/m 으로 두면 식이 x″ = −ω²x 로 정리되고, 이를 만족하는 함수는 사인(코사인)뿐입니다. 초기 위상을 0으로 잡습니다.\n\n \\[ \\omega^2 \\equiv \\frac{k}{m},\\qquad x(t) = A\\sin(\\omega t) \\]\n\n \n\n \n 미분해서 속도·가속도 얻기\n\n 변위를 시간으로 한 번, 두 번 미분합니다. 마지막 결과 a = −ω²x 가 2단계 미분방정식과 정확히 일치 — 해가 옳음이 확인됩니다.\n\n \\[ v = \\frac{dx}{dt} = A\\omega\\cos(\\omega t),\\qquad a = \\frac{dv}{dt} = -A\\omega^2\\sin(\\omega t) = -\\omega^2 x \\]\n\n \n\n \n 주기와 진동수\n\n 각진동수 ω = 2π/T = 2πf 관계에서 주기와 진동수가 곧바로 나옵니다.\n\n \\[ \\omega=\\sqrt{\\frac{k}{m}},\\qquad T=\\frac{2\\pi}{\\omega}=2\\pi\\sqrt{\\frac{m}{k}},\\qquad f=\\frac{1}{T}=\\frac{\\omega}{2\\pi} \\]\n\n \n\n \n\n \n\n \n \n Motion in time / 시간에 따른 운동\n\n 변위 · 속도 · 가속도\n\n 진폭이 A일 때, 세 물리량은 같은 진동수로 움직이되 위상이 90°씩 어긋납니다. 색은 위 애니메이션의 곡선과 같습니다.\n\n \n \n 변위 · x \n 중심에서 벗어난 거리\n\n \\( x = A\\sin(\\omega t) \\)\n\n 양 끝에서 최대 |x| max = A \n\n \n\n \n 속도 · v \n x를 t로 미분\n\n \\( v = A\\omega\\cos(\\omega t) \\)\n\n 중심 x=0 에서 최대 v max = Aω \n\n \n\n \n 가속도 · a \n v를 t로 미분\n\n \\( a = -A\\omega^2\\sin(\\omega t) \\)\n\n 양 끝 x=±A 에서 최대 a max = Aω² \n\n \n\n \n\n \n\n \n \n By system / 진자별 주기\n\n 시스템별 주기 공식\n\n 두 대표적인 진자 모두, 힘을 F = −kx 꼴로 정리해 같은 주기 공식에 대입한 결과입니다.\n\n \n \n 🌀 용수철 진자\n\n \\[ T = 2\\pi\\sqrt{\\dfrac{m}{k}} \\]\n\n \n m · 물체의 질량\n\n k · 용수철 상수\n \n\n \n\n \n ⏱ 단진자 (실에 매단 추)\n\n \\[ T = 2\\pi\\sqrt{\\dfrac{L}{g}} \\]\n\n \n L · 실의 길이\n\n g · 중력 가속도\n \n\n 각도가 매우 작을 때만 성립: 복원력 성분 −mg sinθ ≈ −mg·(x/L) 근사에서 k = mg/L 로 두어 유도됩니다.\n\n \n\n \n\n \n\n \n \n \n Conservation / 에너지 보존\n\n 전체 역학적 에너지\n\n 운동에너지와 퍼텐셜에너지는 끊임없이 주고받지만, 그 합은 항상 일정합니다.\n\n \n \\[ E = \\tfrac{1}{2}mv^2 + \\tfrac{1}{2}kx^2 = \\tfrac{1}{2}kA^2 = \\tfrac{1}{2}m(A\\omega)^2 \\]\n \n\n \n x = ±A 양 끝: 속도 0 → 전부 퍼텐셜에너지 ½kA² \n x = 0 중심: 변위 0 → 전부 운동에너지 ½m(Aω)² \n \n\n \n\n \n\n \n 단진동 공식 유도 · 물리 I 학습자료 \n F = −kx → x = A sin ωt","alternates":{"markdown":"https://popup2026.com/tV2C35.md","json":"https://popup2026.com/tV2C35.json","html":"https://popup2026.com/tV2C35"}}