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title: "단진동 공식 유도"
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단진동 공식 유도 

 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

 
 Simple Harmonic Motion · 물리 I

 단진동 공식,
 복원력에서 사인파까지 

 되돌리려는 힘 F = −kx 하나에서 출발하면, 미분방정식을 거쳐 변위·속도·가속도 가 모두 사인 함수로 흐르는 것이 자연스럽게 유도됩니다. 아래 진동을 재생해 세 물리량의 위상 관계를 먼저 눈으로 확인해 보세요.

 

 
 
 
 
 변위 x 
 속도 v 
 가속도 a 
 

 ▶ 재생 
 

 
 
 물체가 양 끝( x = ±A )에 있을 때 속도는 0·가속도는 최대, 중심( x = 0 )을 지날 때 속도는 최대·가속도는 0. 세 곡선은 서로 90° 씩 어긋납니다.
 

 

 
 
 Derivation / 유도

 다섯 단계 유도

 "복원력이 변위에 비례한다"는 조건만으로 단진동의 모든 공식이 결정됩니다.

 
 
 복원력 — 되돌리려는 힘

 평형점에서 x 만큼 벗어나면, 그 반대 방향으로 변위에 비례하는 힘이 작용합니다. 부호 (−) 가 "되돌림"을 뜻합니다.

 \[ F = -kx \]

 

 
 뉴턴 운동 제2법칙 대입

 F = ma 에 넣으면 가속도가 변위에 비례하고 방향은 반대라는 관계, 즉 단진동의 정의 가 미분방정식으로 나타납니다.

 \[ m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}\,x \]

 

 
 각진동수 정의와 해

 ω² ≡ k/m 으로 두면 식이 x″ = −ω²x 로 정리되고, 이를 만족하는 함수는 사인(코사인)뿐입니다. 초기 위상을 0으로 잡습니다.

 \[ \omega^2 \equiv \frac{k}{m},\qquad x(t) = A\sin(\omega t) \]

 

 
 미분해서 속도·가속도 얻기

 변위를 시간으로 한 번, 두 번 미분합니다. 마지막 결과 a = −ω²x 가 2단계 미분방정식과 정확히 일치 — 해가 옳음이 확인됩니다.

 \[ v = \frac{dx}{dt} = A\omega\cos(\omega t),\qquad a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\sin(\omega t) = -\omega^2 x \]

 

 
 주기와 진동수

 각진동수 ω = 2π/T = 2πf 관계에서 주기와 진동수가 곧바로 나옵니다.

 \[ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\qquad f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi} \]

 

 

 

 
 
 Motion in time / 시간에 따른 운동

 변위 · 속도 · 가속도

 진폭이 A일 때, 세 물리량은 같은 진동수로 움직이되 위상이 90°씩 어긋납니다. 색은 위 애니메이션의 곡선과 같습니다.

 
 
 변위 · x 
 중심에서 벗어난 거리

 \( x = A\sin(\omega t) \)

 양 끝에서 최대 |x| max = A 

 

 
 속도 · v 
 x를 t로 미분

 \( v = A\omega\cos(\omega t) \)

 중심 x=0 에서 최대 v max = Aω 

 

 
 가속도 · a 
 v를 t로 미분

 \( a = -A\omega^2\sin(\omega t) \)

 양 끝 x=±A 에서 최대 a max = Aω² 

 

 

 

 
 
 By system / 진자별 주기

 시스템별 주기 공식

 두 대표적인 진자 모두, 힘을 F = −kx 꼴로 정리해 같은 주기 공식에 대입한 결과입니다.

 
 
 🌀 용수철 진자

 \[ T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} \]

 
 m · 물체의 질량

 k · 용수철 상수
 

 

 
 ⏱ 단진자 (실에 매단 추)

 \[ T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \]

 
 L · 실의 길이

 g · 중력 가속도
 

 각도가 매우 작을 때만 성립: 복원력 성분 −mg sinθ ≈ −mg·(x/L) 근사에서 k = mg/L 로 두어 유도됩니다.

 

 

 

 
 
 
 Conservation / 에너지 보존

 전체 역학적 에너지

 운동에너지와 퍼텐셜에너지는 끊임없이 주고받지만, 그 합은 항상 일정합니다.

 
 \[ E = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}m(A\omega)^2 \]
 

 
 x = ±A 양 끝: 속도 0 → 전부 퍼텐셜에너지 ½kA² 
 x = 0 중심: 변위 0 → 전부 운동에너지 ½m(Aω)² 
 

 

 

 
 단진동 공식 유도 · 물리 I 학습자료 
 F = −kx → x = A sin ωt